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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 7,)7DCN  
S5@h`6Hdj  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. RbZHgHDftw  
qIYd;^J  
　　1、三角函数本质： .=nz!p]  
#2~ NDQ  
　　三角函数的本质来源于定义 Im.V.#,4]  
p}zFmEfa  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 >'%Z`  
?D8R ,  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 EWK.>$:No  
3\Cj~_rEI  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： LL ^-QP  
:T,YyOK  
　　推导： yYh;f{kP  
{<E$8cs;  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 !Vb9oCa  
WV#i[tR0  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 2RQ 1E0S  
=X! 8pImHE  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) PXEK B  
{CMj'T}9  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 pN: ih~u1  
XVE[o;G& >  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） (2-  
LRH"P4p3  
　　[1] UDbpS%v/I  
3 &B #2  
　　两角和公式 aDG?hDD]N  
jXTH<vlZ  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB FlF Oz4VT  
(rf=U  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  3PHN\ee6  
tq?)L (c N  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB io]P[1$d5  
w,^ChI+{8  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB )%*+ 9  
ZRXVY*wvq  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) h@IT-9<r  
:dCiQ:'(  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ;=tiZhX%  
DDTXm+16r+  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  >Kg0x#z2f  
7WaY $>A  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) F[Gbl'hE  
dAgimE_x0  
倍角公式 -:#GQ{GE  
pa@T xdM2i  
　　Sin2A=2SinA•CosA :KmCcks  
er$<|?'  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 VTOK(>2  
j2ro<? "H  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） [@N23N!W$  
Xjh-+y"1F  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 3Baf7ef  
GeJlDUdUV  
三倍角公式 |OHIzz v"f  
ZgZtbqm  
　　 {D&<A  
J"<G|NK >  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) &<!-=%r  
xzLaO#  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) jR6!Z$E)~.  
6"Ym&o"?x  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) |o l!:Q>e  
WBL .p  
三倍角公式推导 WLhbRLT<'!  
E z,jQ0  
　　sin3a ?v 0"R'MJ  
A.~4Haf z  
　　=sin(2a+a) WX^2W22t  
yec:6S1  
　　=sin2acosa+cos2asina P0616(gsi  
TMX-2Bwv  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina _-, NQe;  
2$oGq=us3  
　　=3sina-4sin³a P^K7@hF  
e;:% s B  
　　cos3a H 2e4EZ8  
. # za(\Eo  
　　=cos(2a+a) 7}2 #B 3[{  
.|+l;JQz?  
　　=cos2acosa-sin2asina Ro<p_M3?e  
e:!a"x=)z  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa u|(S.  
Q7s'{UR  
　　=4cos³a-3cosa I4Z+k6knj  
5`~o<-h  
　　sin3a=3sina-4sin³a 8{Ebp  
}J o>K;j  
　　=4sina(3/4-sin²a) /@ "^t:  
k:bK&4PZ  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] dCg![48  
qGMy -ZE  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) {,V@'-  
Lz5?f*B  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) JY0C-a=f  
X;Ig*  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] dt6\z<Q \  
h3SzNn^y  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) SPuP|NXS  
ba!i!,  
　　cos3a=4cos³a-3cosa g0&6Uu PI  
JQE94(]n  
　　=4cosa(cos²a-3/4) ]$\} 7o$3  
5Xb3_j3;  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] g6} GvL\  
wAn0^RDIt  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) A'7>E}$w!  
4_Rm~T}CE  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) !<eC198U  
P%kB  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} +2U.P?>.  
e'PCl-;G  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ERTM,~  
5/u~Wpp  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] :VO&W#  
s5&' vya  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] E_S,TA9a$H  
- 4O,b-  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 3.RM[t+  
%XK3rA N  
　　上述两式相比可得 ~Ixs7-ywAr  
LS>fI1'U0  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 4H*p&Qd`B  
wVq`mXC\@  
半角公式 WLlgpf:Z  
>Xw82d9  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); Pd{p xkF  
Zb$:uK  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 96-|,B(2y  
u@4   
和差化积 veFdc~3C{  
LY& *Wj0o  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] !vWRdLo  
:Ly5ho6v  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] {&W |j4Q  
CB%xPZ  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ul9$Xxqs  
b=<>  m8o  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] g8)Q0NI  
1qL<~}  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) e^qZ;Z/  
8  @xI2I  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) PL%WU7;  
c EEW9ny^R  
积化和差 GdYmXyi([  
Q6[uDrs  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] hj!-,\cg  
&/T^t D  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] Ytqv8Q@  
E07&w?G  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] Nedbxx~  
aF"s,uo  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] H<4i+-HT  
!x8LvB  
诱导公式 44+HN{s  
eX kk>3  
　　sin(-α) = -sinα aC_U`Pa A  
$o7- cg*  
　　cos(-α) = cosα RQZ2"+N4zc  
yr<BNg7_  
　　sin(π/2-α) = cosα nIZ7% b  
caT_  
　　cos(π/2-α) = sinα A \.,lP  
;ul5o J  
　　sin(π/2+α) = cosα NtOgNo)}A  
_6_aYYOq'  
　　cos(π/2+α) = -sinα UlS)f+*[  
tyzst):B  
　　sin(π-α) = sinα +Y'hbES2q  
A|e \Pn g  
　　cos(π-α) = -cosα 4>d;Y",2*o  
IRi#:nN/S  
　　sin(π+α) = -sinα )fb|YV  
K*a5Jb=5^?  
　　cos(π+α) = -cosα (bv]p?qM?  
JN;$X]K  
　　tanA= sinA/cosA W%Izy  
xc/H.xfT  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ium[Pgw  
yWcvmdvW/  
　　tan（π/2－α）＝cotα 4KwB hHE|  
WZpkugj  
　　tan（π－α）＝－tanα z:^XD;$  
1ZAF:{  
　　tan（π＋α）＝tanα ` cw! ~ "  
j&~Z"F_sT  
万能公式 mw_o+6[6  
3dbK^4;  
　　 -z 6j|M  
7lCE\#!3y  
其它公式 \IP!e4$3B  
seByI0*h  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 l5md1J  
cT6Jy1w  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 hWif=RW  
cH- ->~y  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 D~3- }X  
Sj-o G  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 /^~y1Mk)Z  
.gtE'P*hp%  
　　对于任意非直角三角形,总有 `?$.sm[  
K)mC|O)  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC iG>Ru  
<uprsEA  
　　证: u1\vF.?:<  
YKK,*L  
　　A+B=π-C 7R*m-6Z  
_.kXGJ[#  
　　tan(A+B)=tan(π-C) Z=_IF c  
vUcY3j  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) K /&9ALF  
`C^<M-t  
　　整理可得 ' $.77*  
XFKi1W&sn  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC k,L0pdB?  
:Rd mU  
　　得证 c a 8@1C  
zUJUz\;.  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 [U5*9d;:  
<S)~oW[,4  
其他非重点三角函数 H<?W% u:  
G539x;  
　　csc(a) = 1/sin(a) I%i|] x }  
Kf8TC;\  
　　sec(a) = 1/cos(a) se^l?.7v  
\w_ ~68M  
　　  }?'Ck%  
`m bDQ  
双曲函数 ~_,/OX)  
E}p~ ]P@e  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 z7=Kc_G"  
M7T0x74*a  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 B+QIrE  
7-r)O}  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 8*LZD.s6/  
MfliXs. a  
　　公式一： '7{7j,  
(g "} ]  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： V*_3=8qY  
-Q$V)H5  
　　sin（2kπ＋α）= sinα KEQ{wFmQ  
J4(@5kZn  
　　cos（2kπ＋α）= cosα Xm0~*d  
S "=71>  
　　tan（kπ＋α）= tanα I1(I/@r^  
oFT?v}_  
　　cot（kπ＋α）= cotα i<cJ}$<z@  
zf.1d-=Au  
　　公式二： ic6&%3{  
ApdR@!B@  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： W<55II+}  
 T36gy  
　　sin（π＋α）= -sinα >04 ni!{?  
Alc U^t  
　　cos（π＋α）= -cosα ,PwRvw0Z*  
jjt!W=  
　　tan（π＋α）= tanα O.'B_@M  
Q(AzM"&To  
　　cot（π＋α）= cotα SoWo8tSA'h  
vXQm#8UFF  
　　公式三： -$$ (8ua  
cJ.eBDZ[.  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 5=}%@N0]@  
q~k.'nEh[  
　　sin（-α）= -sinα 7h. Tlh[  
oAjN] o4  
　　cos（-α）= cosα V&DV)C-~[  
JH|9=k  
　　tan（-α）= -tanα 5hK_  
DM-3f .  
　　cot（-α）= -cotα qwC B7  
tlb1* `!  
　　公式四： J|*= CP  
4.6fP{  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 2P}Gi9sQ/  
JUg@2~ y  
　　sin（π-α）= sinα }R,R(O8HF:  
bf+C2*B  
　　cos（π-α）= -cosα 5\cL"x1  
)Ct 2u  
　　tan（π-α）= -tanα Bj,gFc79  
"aY58  
　　cot（π-α）= -cotα e+5wwf,v=  
.etH8  
　　公式五： Te/Q,Dc=_  
6On_`s}  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ` zju  
2( [o\~f#  
　　sin（2π-α）= -sinα 9^=i!C  
C@\&~]t@%F  
　　cos（2π-α）= cosα ivO_ {  
^h\P*  
　　tan（2π-α）= -tanα /a%yEc-  
Ds&mfMDX  
　　cot（2π-α）= -cotα Mo"AOb s  
IsezCv@wJ  
　　公式六： 'KLU) p  
.pp1+_s:"  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： `rQGpzu4  
* K9^0  
　　sin（π/2+α）= cosα obVy5 W6e  
q#\dByhC  
　　cos（π/2+α）= -sinα zIfY] D$M  
[%p+=`  
　　tan（π/2+α）= -cotα NTs]eR4k@  
SG @V8ku5  
　　cot（π/2+α）= -tanα cGBo6^l  
^ o8siNS  
　　sin（π/2-α）= cosα +:Gn5_aO  
;Y6F,v~  
　　cos（π/2-α）= sinα H!1!hO#Y  
lTuULH<f  
　　tan（π/2-α）= cotα U|-[ I31  
=Efe\+u\<(  
　　cot（π/2-α）= tanα BXdPj>Xe}  
MC6Zm((  
　　sin（3π/2+α）= -cosα q0("Quyu~  
]Rr`b[u  
　　cos（3π/2+α）= sinα #%vtMQ"C*  
o|  TW  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ixEpTF\j  
4M1!(Mt(  
　　cot（3π/2+α）= -tanα `FwT[.}J-  
]NW2WZ  
　　sin（3π/2-α）= -cosα bM8>b94I"  
S 4;kbXy#  
　　cos（3π/2-α）= -sinα @U$\aDDyY:  
`~=u|d0!t  
　　tan（3π/2-α）= cotα ?VDm gy  
4eE3IwtR  
　　cot（3π/2-α）= tanα ^qrakwO>  
An=)8+`  
　　(以上k∈Z) ]9TA|*l  
P zz-<vv|  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 [fH_U .0o  
fwRy{0J7  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = .OY`~-  
T$gqyq8  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } *hX$F;  
a dM "5  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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