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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 |e{GsuHk  
F=>t o~I  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. + ? '<|  
$RDp~5xL  
　　1、三角函数本质： '&V=v"~TLQ  
iA"Bow:X_P  
　　三角函数的本质来源于定义 =4U 2d^c[  
0P|B3{a   
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 c NKQ_v  
}vk6%GP  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 I7 aiV;M  
{R=GcW-/<  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ]x hl&NM  
+PJ]?)WBb  
　　推导： r`$=3  
{a5G5!u  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 !hp;0 x,a?  
IJU@H   
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) |dbx3p  
q%/r{<z^}  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) h(h/ 9So  
A%]g@Rfu  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 9%=2z#f]$  
8/?A#l  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） D42VmU%\  
# k.nO  
　　[1] }`a ~S  
P{6W ,X  
　　两角和公式 r 83mQX,6  
?} #r4K  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB _}@?T}zxr  
#T?1a`[R  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  7IIJ^tl  
=e6_/<p&r  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 0c8|xr1  
w COK2`  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB R@uLbW;~  
n)wS yK  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) c[E~t ph~  
c .]^Y|  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ]Stw5n\T  
2w'/WI^`  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  _Fp|>w  
$6B&\>  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) *WH*(N  
Sk'[) 3  
倍角公式 {K\3h4K  
 `c_,l  
　　Sin2A=2SinA•CosA 5%\/IW#.  
l ,m3`rlAh  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 =g26 0G/  
8d W%l[c  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） "LiYM!Ay  
=xDFl%5$  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ->A|sMO 3\  
{UBa&f 8NU  
三倍角公式 OmFNkni"#  
;keIic@)  
　　 4IhMS9~-D  
2.zBDe+xl  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 6Nj `D[^6L  
~}DG9'pu  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) oDjq5EEV  
t M-kkg  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 2t-sTAE  
bWVn?1  
三倍角公式推导 h*LTcz<L  
4@Ey&J~b  
　　sin3a TTqm$$X%b  
\ ~#]]/J  
　　=sin(2a+a) SLjEYN  
@M;`k6N  
　　=sin2acosa+cos2asina VzxTKJAIt  
o\ pGq\  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina dX)^(6V  
 Zr[Ak  
　　=3sina-4sin³a 'yaw !  
nD NeXxa#I  
　　cos3a } UIUd j  
;L,JtT  
　　=cos(2a+a) H57..q=V5  
yXI({<9  
　　=cos2acosa-sin2asina P3mnC,QU  
Nc W8F0  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa "x+AqsL/  
{o^^B_N  
　　=4cos³a-3cosa i0&I>  
V4ojv6"  
　　sin3a=3sina-4sin³a {6$p]&  
U de0 bQ  
　　=4sina(3/4-sin²a) 7Yso2w7  
wVOWerd![  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] A'/Q.z  
j'v7[!P  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) \1-DA P  
-P<Nt_  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) toHIiEA  
$z4iW{CO  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] !v{ Yn  
U#0tc 'I  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) /;o% 1F  
dYG6tSi  
　　cos3a=4cos³a-3cosa R-@0pr$ (  
qu::zNzD  
　　=4cosa(cos²a-3/4) V=sxc 5  
MKOD1N  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] Uh@e@RS(  
83N0w  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) a}D3?WAP  
eWbVv6 tP  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) :dHfpB  
4A5,'(`  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} GMzYPE' C  
, }QzPC  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ZLdpMF2X~7  
"B'>BHOg  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ! >|.wp"  
uwu,K<}e  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] T]7{Q,VQ  
q6hK\Y ,  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) m0pCme vH]  
6Ngz|IJCg  
　　上述两式相比可得 Kp\"1c`$  
4 0)!E~`&G  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)  rZ?a-,%  
j /R7j|X  
半角公式 fU"mw%Y~r  
3P)}4VACw  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); HNDB\  
vK']BitpI  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. [?bg]L'ip  
| zT#aa2  
和差化积 Y9N5TdS?  
GU `'x ZyJ  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 1x>HW|O f*  
bp$FX` wV  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] '7 ]{=> (  
4OYX"PW  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] #\t)O7$r  
/4=/QW<y  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] B8 sDV5n  
I 51$wJp1  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) hDoj4QjG0h  
Xh:#U, nI  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 'T\2.BV:j  
%^mMf t)  
积化和差 RhZXc39]D  
<#9vG+xL  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] DV`=#e$a j  
#]t1*Gxh  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] c-p3K 6L  
DvM">ES/  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] f7M#OrvA  
?s?G=U'  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] T@VmL~ W  
R99:z6)n  
诱导公式 n&$ekq  
`kSHj?qQ  
　　sin(-α) = -sinα n0j})i#~  
S$[D$|xP  
　　cos(-α) = cosα *4 MC5;  
o5Cqct9G  
　　sin(π/2-α) = cosα $M* g)x  
WqG^  
　　cos(π/2-α) = sinα _Fig  >&  
Ur+$u]mF  
　　sin(π/2+α) = cosα 7CI2vN^9  
<?r\bCqBt  
　　cos(π/2+α) = -sinα J&$U"`  
 t{.,? {Y  
　　sin(π-α) = sinα ;+t ~  
h{2WBX@|u  
　　cos(π-α) = -cosα %>1I[5;<p  
. f- `TT  
　　sin(π+α) = -sinα ^GRp$ZLS  
e[\Lp&X0!  
　　cos(π+α) = -cosα EG^~PB`  
OfF[Oe  
　　tanA= sinA/cosA EE+)MaLb  
Ql[Vt9%K'  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα g{\1 V7|w  
|"e%7`&X 1  
　　tan（π/2－α）＝cotα 8A$_5L  
ON'2 k> _  
　　tan（π－α）＝－tanα I*cqO  
(cZ@~fx  
　　tan（π＋α）＝tanα i 8aWwr)  
[H m`,#  
万能公式 XnEKsZ#r  
C xhH~>%  
　　 1;PlBW9B=  
\4hN9 S  
其它公式 h72Ue|  
_{)RX VI  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ()OMVgM@  
I4? ,gwk 7  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 yl i+>n  
PBQlKr8vX  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 , gSjFNiu  
* TfbTd  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ,$3r )&6`  
7wN6E#Igk  
　　对于任意非直角三角形,总有 0PnKv&  
gLGUSC  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Wu'wln"F  
7 Yn0y  
　　证: _f =\F  
_Gz?L'DS  
　　A+B=π-C >1mA"^Te<  
I3K_yFi  
　　tan(A+B)=tan(π-C) zyn=-PA  
R~T;s#n.L8  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Snn<ukb H  
<I5tx'  
　　整理可得 !yPI  
%l,yf"B_  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC (izy{DxF  
(D+Sq$  
　　得证 aI,`2IC/  
d'|?7>y  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 !l5b vZUL  
&|c]W!u  
其他非重点三角函数 u&G]vOCW;(  
~iN9HOE:$  
　　csc(a) = 1/sin(a) c~kQ;kNb,  
abC%?Y`  
　　sec(a) = 1/cos(a) Qj8 k:MP  
kXaL2.?q  
　　 -C?W[\RMk'  
@\=| SI  
双曲函数 ~K}*|5 *J  
9S_,pz  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 Zf.QX8A\  
69W+&AF'  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 SO,;5?~H?a  
Rl 'ZBVeT  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) u 9L l0  
DB?;N&Z  
　　公式一： Qh 2]#OC\  
4s:"Qx#i  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： P&F\x'0j  
 )z bDm2  
　　sin（2kπ＋α）= sinα /+}lk{:x  
'7_K97a2  
　　cos（2kπ＋α）= cosα X<Fc[:0KT  
K0.!.]_)  
　　tan（kπ＋α）= tanα 5h2%IS.  
*3G2]o0  
　　cot（kπ＋α）= cotα %/zp w(  
?75$O>SxY(  
　　公式二： b%Mkm;L  
y=;meQb  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： <RUcd |Mb  
/12c.]1  
　　sin（π＋α）= -sinα .Tf `  
mZ/K"mD  
　　cos（π＋α）= -cosα J e?ZX+  
>"VvN/yk  
　　tan（π＋α）= tanα .T|P@j9D  
@xZ=<Y}\  
　　cot（π＋α）= cotα zYV#4+f{  
aj6B {mg  
　　公式三： Q$Me,P m  
tw{Bi[aDpj  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： PGc0mqs  
X]<p!F(6  
　　sin（-α）= -sinα uaBvV=L]  
$huWO;d 4Q  
　　cos（-α）= cosα #\Tok[mp  
EhuI*vl9  
　　tan（-α）= -tanα +q}%'-  
\0`xk ;  
　　cot（-α）= -cotα 10*SJ  
k_XY/t%R  
　　公式四： x%(X%[N<;H  
J[D:]VncO  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： <6Jik<  
Y8 q6]qM  
　　sin（π-α）= sinα -U7 v?  
hhh)Nz  
　　cos（π-α）= -cosα .GxT|V=!N  
.`lw3I  
　　tan（π-α）= -tanα :hI41+ e]<  
G!/}X1  
　　cot（π-α）= -cotα u3>2Gm{T#J  
'(M*"B  
　　公式五： ^:F,3  
oL]Xb>{K  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： KrkOS'S  
^GJpNjVsfc  
　　sin（2π-α）= -sinα G [g%;'O|  
peM5]b  
　　cos（2π-α）= cosα dv)Oc @e{  
gW=_;Gj  
　　tan（2π-α）= -tanα Z^377\Y9\  
d?<x<e)  
　　cot（2π-α）= -cotα G_[d"Z&  
yM'QLy !r  
　　公式六： bL5KqI'|  
qB-E5+k|R)  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： {\D!-7'  
!*w%;]Gz  
　　sin（π/2+α）= cosα L/5q, /-.  
@l/ {l0  
　　cos（π/2+α）= -sinα , Z 3 $y  
dKH Nz  
　　tan（π/2+α）= -cotα Bv$h[H  
u9kJ {H A  
　　cot（π/2+α）= -tanα ]r)?|GKzG  
$SSz\'2R  
　　sin（π/2-α）= cosα XN/byjlB  
Lvh~TE  
　　cos（π/2-α）= sinα UkIa`,7,  
~c'MPcJ0  
　　tan（π/2-α）= cotα }V5p^&7v8  
YLScvD  
　　cot（π/2-α）= tanα cQw;M\  
W7nBu9  
　　sin（3π/2+α）= -cosα csXM6gJkZ  
(iP7Lb( .n  
　　cos（3π/2+α）= sinα Z|$i0dl  
;qs_H6Y6  
　　tan（3π/2+α）= -cotα R*zQF'I  
5Tn1Q0Q  
　　cot（3π/2+α）= -tanα  d7`=``|  
$F/^9 C ^  
　　sin（3π/2-α）= -cosα #q^^ ~  
-~<p3Suv1  
　　cos（3π/2-α）= -sinα ?\=1+sM}  
x<okF.h  
　　tan（3π/2-α）= cotα W8Um( ::  
z{&lS!dE9  
　　cot（3π/2-α）= tanα km4,[2V  
D"qB8oT>J  
　　(以上k∈Z) GMy0S*@kgT  
lR_"qY`  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 P STi0ow  
}4Ig6:(R  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = /hNb}/I  
4"/Ubjk"a1  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } Wx~AG\i  
7&k+ O[Gs  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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