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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 4^,Yv>!V  
/7B onk  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. ZmnHQWs  
:A^GM:3?  
　　1、三角函数本质： Y)z,_e(3  
}e[6W?$dh  
　　三角函数的本质来源于定义 WXl  
ia<i0/6<  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 ?G6kn`  
n)]sP'  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 c&~H(yWI  
X t}R#J9  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： y=WQRF  
kTDuR )  
　　推导： R.>StJ!Z  
tr$f*Q0  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 NL U K8  
v1Gg\gL  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) [-OEtm`  
tHk`>m=  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) o,]=\a6  
0znRA&Qd  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 Ro+{(NyQ&  
A9p(;rt  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） '|`a& De  
31RFjV_vi  
　　[1] Z7p$BpC,So  
ke]q"qKjG  
　　两角和公式 gq\fw3Qp'  
&O)! P7 _  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB | AbOpn  
+?hN349i  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  P'SY  
z[9r v?B8  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB f;[J3-iW  
UOG6Ql5J]  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB [q<}(kw  
u TtD 9j '  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 3!iD="''  
6P@.<7{{@  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) )Ql|h10V`  
z+D1|.l  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  HJmIc cu  
qIMe( l]  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) OTE&&Y&y,?  
,/#C#  
倍角公式 a8qbx1  
kBB_Tv!  
　　Sin2A=2SinA•CosA [ Dt G[G  
dEn3I-Z  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 C9BjwNu1  
Di<Q:sKMr  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 2ZN*CQ .E'  
f\2#b4S>N  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） uqaDt86  
@h16:Gn\  
三倍角公式 |F~s.Q6i-}  
pR+o)V34t  
　　 Gx;=0Z.  
bXwLWJ6(  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) KwyJ|uC^&  
g~Oq,G]`]  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) lg7{R1r  
JF7L-Mjd  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ^(^n- 2Lf  
{>rP1C)[3U  
三倍角公式推导 PLjLgCdrH  
)JMdN%O  
　　sin3a B79 @YI-t  
8mHGbCZG  
　　=sin(2a+a) 4ekLrs+  
TfbG+~ L  
　　=sin2acosa+cos2asina .[XQow/'  
} 2'a(5PO#  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina NFJbJ6  
nZbs%{SI0  
　　=3sina-4sin³a `u}e   
%3^ 9  
　　cos3a YXoK*?Z  
iyxh{^D K  
　　=cos(2a+a) " b M+o}  
tAC&r@o6x  
　　=cos2acosa-sin2asina G9yP;' ?  
NS38f  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa \q!&X=  
OqxO1$P-Z  
　　=4cos³a-3cosa ?]#iPnhr}  
wa!/"Y'|  
　　sin3a=3sina-4sin³a )gC%-H&  
Lh.!L<_M  
　　=4sina(3/4-sin²a) n@udO$y  
V(w~ ` -*  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] Nv!Ny%.<  
N5L QL8  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) wApwqDN  
mw8"M:II%  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) C O!<1T3  
W2N&:z-  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] Ku`n.?Nx  
+5F/Ns   
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) /tB\*jIP~$  
{nwCzx~G  
　　cos3a=4cos³a-3cosa ^nYBgQn$jJ  
3\r}6F  
　　=4cosa(cos²a-3/4) [F" 7I_o%  
{n_SK]  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] T5fn82jB+  
0OoHWy 8  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) P?s0^c[  
<AH_;.W'  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Ud[ _J0S  
nwY>+|.D  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ~3>g"cA  
az4Z TtYa  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) GiU8ZPl)  
TQ o<`hYp  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] Q-y YkdfN  
5b4eu9T  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] TB{dk4}  
m nS{#&0|'  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) h99u>@  
Sk3-C3d@f  
　　上述两式相比可得 nJVtG#  
Xc d/2E[  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 3Q9Cs=N  
8:0s"OPW  
半角公式 y_CvR 6  
j>=(H(ei8  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 1=[Ytu{[  
EYru{hV[  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 3Pm;>>J4@  
l==cTE@g  
和差化积 _"K"HKzjoA  
g0T--^  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Nv L2I  
.6Hc)M3  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] d;3 z, ( E  
f G'M#UY  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] =QtbkG [u  
cA c4~<b  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] -oeGR  
W@z%`w  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) pzT@9^.'  
iLT!zgNd  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) bw` U-$D  
Q<CZdR  
积化和差 nI!vX\CjaP  
~xYKoT$q  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] Qq5OjcOgQ  
7e7EG/Rt  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] +|qvHIS  
sFCOaoAc  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] #-]QFkJP  
Ybg+rQ< (  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] =K 1|?Av  
"HS@o}1t  
诱导公式 lvT** !~  
L)X_#! $G  
　　sin(-α) = -sinα l.w/H<i  
%82x/ V  
　　cos(-α) = cosα /3H3@wRK  
G);:[o  
　　sin(π/2-α) = cosα B7H9 k5  
['{e)UcY  
　　cos(π/2-α) = sinα m$3/YW{h  
!kv?\(@Y  
　　sin(π/2+α) = cosα AMzR1(O&  
=a(76H  
　　cos(π/2+α) = -sinα rbluL[  
UHCrRhMP  
　　sin(π-α) = sinα NW"KT= nY  
?RgbqoJB  
　　cos(π-α) = -cosα `QP'hEC  
faUa6d#\  
　　sin(π+α) = -sinα h:I+[tD  
!cizhNcV  
　　cos(π+α) = -cosα ]eu >'f^  
*vB+B:s)\  
　　tanA= sinA/cosA }lUb;  
z* J=N[  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ]"\3w  
iy>m=aV^  
　　tan（π/2－α）＝cotα l? <HgqP  
|IURO Fc-  
　　tan（π－α）＝－tanα 2z5|  
(vi2[  
　　tan（π＋α）＝tanα #,Qf2o)_o  
E133mgD'Cd  
万能公式 BV\X"n$  
. jUhxx`  
　　 vx OFe[  
!`rV  
其它公式 v9qXD  
d9-O"ir}  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ,d?U& [: /  
^^DZG> G,  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 i;0#<'6  
NR H,~X  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 h#GtFM  
b4(j;A-  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 4$hs2=+  
W6Gp]WT  
　　对于任意非直角三角形,总有 1(cdL]  
%$fdFJ?.  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Y{5+^i%;H  
<mlr[ ~  
　　证: /JR gW|+  
bM$`!:.  
　　A+B=π-C 6)^L+PbU  
)^as m  
　　tan(A+B)=tan(π-C) OUMcrj~  
U=ph!=0  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) /fN$ldV  
YC<mu@!nl  
　　整理可得 j+{|1q5|  
x0e*1|#F8  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC gg~aoV9'zA  
 u@jA]x  
　　得证 &K:{s4 +  
!ko<:!U  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ,[i]  
{5dGH^  
其他非重点三角函数 zi'2I@x   
d4r/SrQv,u  
　　csc(a) = 1/sin(a) v`J>y+_V  
m7N*^S{wV  
　　sec(a) = 1/cos(a) 3;q=BU  
<=! c%"k  
　　 J@]feY`C  
m KYIMq,NT  
双曲函数 3-{wN)I-  
).%7U8m'"  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 %5;hi%  
7v4)x\~A$  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 j<11>t7L  
wAikd F{q  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) J5v axBB  
&-gChhO9jU  
　　公式一： y< fB)>  
)o.Q.L6hSw  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： (Vl9C>Jt  
`9Veg\01  
　　sin（2kπ＋α）= sinα i6~:{?}c  
jNCOk6}'}  
　　cos（2kπ＋α）= cosα x~Y %4p  
b^8RG|D  
　　tan（kπ＋α）= tanα dW>+~I i  
!6R( 2/g9  
　　cot（kπ＋α）= cotα 8*g`we  
S+lzR8 -  
　　公式二： Iw!}:3 ?%  
y]Aq1gB 9q  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： :kcc2X*$  
e5DA"<cv}  
　　sin（π＋α）= -sinα 8~0EV^ '2  
hOihy.505  
　　cos（π＋α）= -cosα <ByZfX  
Q5 <b:x  
　　tan（π＋α）= tanα $A:)v3bYl(  
9#0klv  
　　cot（π＋α）= cotα /Vkb\O  
MnsiT*{  
　　公式三： 1M>$@^ 3  
;] pK7lr  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： LKo7eb&`  
l?/FFZ1j  
　　sin（-α）= -sinα y=OIWZ$  
]EIC2wa{Q  
　　cos（-α）= cosα dK Crqh "  
PC!6ov Gt  
　　tan（-α）= -tanα XEH s#rU  
T <dovSp0l  
　　cot（-α）= -cotα I:G! b  
wL% n=7:2Q  
　　公式四： @L`!?Jpa  
onugRF%QW  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： e_g9II#b  
+Kp{X  
　　sin（π-α）= sinα [K^Jqx #  
{s>jQ0w  
　　cos（π-α）= -cosα %G'8Y<#k(  
f|0w Q T  
　　tan（π-α）= -tanα Z+cwC<@  
h>Sw+ W  
　　cot（π-α）= -cotα FP1C[Q?}A  
r `61y  
　　公式五： `V5I"Kfu>  
WFz=R[  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： T/=Kk(,U<  
F&)BxU  
　　sin（2π-α）= -sinα } RK:6N :)  
,|C!|@z.  
　　cos（2π-α）= cosα x2Q#nlGg  
`'m 8[m,  
　　tan（2π-α）= -tanα [r48MzS  
zX:b?rg  
　　cot（2π-α）= -cotα 1`Q]cx<Ez  
5\/Mgp}#8  
　　公式六： zl2%.J`7q  
xnL8/SYN=  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： J.6e@  
fz#CpDZ|t  
　　sin（π/2+α）= cosα 7 dgWz5^  
Lv<?VNm\kW  
　　cos（π/2+α）= -sinα s3hN { `  
E256^E'  
　　tan（π/2+α）= -cotα 3jIECu)z  
;n@g4;u]%  
　　cot（π/2+α）= -tanα 4ot7R?  
CPD ^f/q  
　　sin（π/2-α）= cosα rtjcf  
#! $i+  
　　cos（π/2-α）= sinα 2}$Ly:Ut@  
~L" g X=[  
　　tan（π/2-α）= cotα AvJT .l-&  
H9jJbZX  
　　cot（π/2-α）= tanα d Teo\E  
QVzO.o<>  
　　sin（3π/2+α）= -cosα ^D'LF2)C  
 URf|@  
　　cos（3π/2+α）= sinα 5Jz ,xIq  
ugU7"YS  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ~xW .D|hT  
D)= mI  
　　cot（3π/2+α）= -tanα d`D  
?u:2l\G:k  
　　sin（3π/2-α）= -cosα S.L{*M&D  
LjJWk{v  
　　cos（3π/2-α）= -sinα pv@"vxslm  
R VZ?[CoM  
　　tan（3π/2-α）= cotα ~lg?!qZkgn  
e'tG'lwn  
　　cot（3π/2-α）= tanα E $WaO})K  
Kpe _54E  
　　(以上k∈Z) ZW=MR  
\6aoL^9  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 7duUaSU'%  
2M#26JW  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = l/5jj4ol=0  
);H4uo@  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } H&^o[*$  
w6K|7&RA  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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