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日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 z0&?/&0I  
(rGaj  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. Zzzb3K  
/'Hh? J  
  1、三角函数本质: cgM2;*_F&  
H3FO|dmy;p  
  三角函数的本质来源于定义 p; $  
{<RoCx&^  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 4@4@co1r  
(v v b  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 x9g!S<;  
I.N>% ?X  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: = =HMx  
Im^M1 D  
  推导: M/gC^9 \&  
~i(XU-x  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 jo~cp.F$  
GD[6 oZv  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) )b9J;u a  
}gVAqnw  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) &?D99'}{_  
V]X</,S  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 65wdK6NA  
69^/Ie  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) e3C%3(  
V._h?YW  
  [1] %h"J5|s/f  
:B>h|P  
  两角和公式 =Ig{m|#  
ZC|Yz5ylI[  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ].aH2jWw  
@n,E /  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  6,8I6H'5  
e*V-$@/fK  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB S5 zxJ@%  
9yxv( w0O  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB [}T.aQl:9-  
RQ1`T ?s`  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) x~VpSv&/  
#-42)x90  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) w"'&j2pV1  
SmF7ZMI%  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  = V +}L{?@  
T,:S Gl  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) Y| ?y $  
S9:L3Ko  
倍角公式 Z|>lsnPw  
Zp*j7m0-  
  Sin2A=2SinA•CosA 6!.w(9.  
jCv5sgzl  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 d tvgo8  
s O' J<v  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) w_\dF9Es  
u/%l Q9  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) >D[0{9%  
t=pnx) O  
三倍角公式 /j\kUv3  
hO <6d  
   j9;Z.Qd_  
qF9 %!t  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) OLYP|VjF  
KE]1n^Yu  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Dnj=OQ#  
q&q}l6  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) . N!c&  
;"55]m1Y  
三倍角公式推导 px_X ;.k  
F=#f~!<y  
  sin3a ^ ^khy  
a`fi>fMz  
  =sin(2a+a) R4I#}  
0m?jhB6  
  =sin2acosa+cos2asina b1Nn-le ;  
0BP5\+u  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina gA`_2Pu )  
(em q^M  
  =3sina-4sin³a *b%pi2/F$  
JMg4:Y0Ea  
  cos3a ]n4m85K2rm  
@>o w>V  
  =cos(2a+a) ~l{3$.   
G sZiB3  
  =cos2acosa-sin2asina gr53r  
Cx`bc :G  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa %$9lh;  
8ew6/_  
  =4cos³a-3cosa x"pGk$CR  
tdo^I"2  
  sin3a=3sina-4sin³a +9/$+. QT`  
Vm$Etq,  
  =4sina(3/4-sin²a) h jx8K_K  
[z>.7bpyN^  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] J)V>3~GlxG  
A(E_+zx  
  =4sina(sin²60°-sin²a) X;I7hKW  
fm(iWG|v  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)  K #_  
&cDz-w 3  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] & n $_|9  
,A@jJSVu  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) bce>x>Y/  
P_BFSeQ  
  cos3a=4cos³a-3cosa UWYyfJc  
rXX,..<!Z  
  =4cosa(cos²a-3/4) D_7-# x}]f  
#^wA&'V|  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] #+3 '|Bw  
` e,"tbJm)  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) $ &-igD  
<6dD 'NO  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) :,,m/Rl*  
L{j#wp O2  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} vP`HrJ"5>  
UitT>J*y  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) BPY BMS:*  
'HvmS,(WP  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] q<G_5,O}2  
1_EkHzM3X  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] Ug.5 WLa  
:3V_OGsh  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) iYS? <  
X`Lj/oOz  
  上述两式相比可得 S`q2+l"g$  
yGGk"9  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) O[JsWQW?&  
~Xv-Q\Q{  
半角公式 n8I6zX  
kf)] Lp,  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); pu/dGn W  
3cko{Jq?  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ^gxU~)6{  
2!*,tP2!  
和差化积 eY}hTch,  
V|FdlSV3  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Z=C $ycH  
\!B P=   
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] -k 2Y(U  
A."^uA^'  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 1](utw%!b  
5j99/I#5|  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] x>;(PNn"  
wy<~nh  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) n|oGq>~  
g+q"|rT  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) !7:Wo |  
Le$n/m^~  
积化和差 JB\?}P]m%B  
rP&\|DD0  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] u>B>JG{~i  
"_P+@^20H  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ,!j)Uq.  
y"@4G;Y_S  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] Yl-|).tz)]  
3%e)XtC  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Z9(|'5e+d  
h@u-^j d  
诱导公式 LxXmBq"  
P\ ^=$K:  
  sin(-α) = -sinα 0fRg:hS  
cacZ2As?  
  cos(-α) = cosα iZYK8%xzq  
i! :5S_#  
  sin(π/2-α) = cosα M]Nt7C"hN  
K"3#'9jY  
  cos(π/2-α) = sinα jB*8q;  
j:#CE E$`7  
  sin(π/2+α) = cosα ?GN)pMET  
]v(y r/&  
  cos(π/2+α) = -sinα 1%))FU-r  
w$S/N5tjP  
  sin(π-α) = sinα FB-}>F  
V~P [m j  
  cos(π-α) = -cosα W[RPo $7+  
] F )hOi  
  sin(π+α) = -sinα #lod&mC#A  
MC#xS`]6  
  cos(π+α) = -cosα ]bv  
q x".< [a  
  tanA= sinA/cosA 44,IyS%z@  
Hc0I!x[\  
  tan(π/2+α)=-cotα -jX-\:E  
]p$iI+  
  tan(π/2-α)=cotα oW`obZ:0#  
C:v6]=* k  
  tan(π-α)=-tanα BXB +U||  
0&Lcic +  
  tan(π+α)=tanα y tZ.x  
F6 k9gI  
万能公式 : .4k|z'>R  
_^52o${-  
   '{G+nHcK  
O*3VH^M6\  
其它公式 t}a;G%Qa  
T0I@lU  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 X#x,/ $$  
2SPO@mL  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 nk61+O{z  
N9a]a`  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 'So&+&;+  
e_w%4_;,  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 / {=Xlq;G  
qe*5| s3S  
  对于任意非直角三角形,总有 `/x{; ->TE  
xZ,pFa9F#  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC HJE+T\-i#  
^ %6g(  
  证: D'eY=  
3T}sCdL  
  A+B=π-C R$zlL_X9p`  
N"aV#ak&D  
  tan(A+B)=tan(π-C) x?Koo^3  
Q3!)j%9  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) `Ic N,{B#  
WO*S@pz,  
  整理可得 t)Ap=oZ   
dm~4dlIbq  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC S z& C6]OX  
m/1m%a  
  得证 (KSqD-`)  
)8Obe:Sv6M  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 nu6aR~k  
T h#b8RQie  
其他非重点三角函数 uzcetc02  
&Wzv9CI  
  csc(a) = 1/sin(a) mt{cO\  
I]9{u=~_  
  sec(a) = 1/cos(a) Z81&9,  
&(n0 {  
   J'wHKA9WI  
jPcN2Z} ,  
双曲函数 -ysF}5  
"n+bYR[k  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 e z=en564  
!Yq2 $.;+  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 6P]`5=y  
hNF"gG58  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) !@{Nk{EqR  
3-n?u/\+4  
  公式一: IETQ_.wT2  
v07K-qh  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: = AQ<=pz]  
pao!7@e1e0  
  sin(2kπ+α)= sinα XWm*h8*6  
RZ&S2Cxx  
  cos(2kπ+α)= cosα nvC$!%.la  
jS/q;N@:O  
  tan(kπ+α)= tanα }kWsPJ  
( =G($Yw  
  cot(kπ+α)= cotα ua DS^  
zuR "18o  
  公式二: q&JE>TiO  
+z>qM  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: +]Xl Uk  
KTi7 &3v  
  sin(π+α)= -sinα r[~ ]Ki M  
!g+^]Q  
  cos(π+α)= -cosα cKqX)D<Z  
$/f3ZZ  
  tan(π+α)= tanα M]y\ O-  
*T 2AbXOD  
  cot(π+α)= cotα M/aSCYnX  
((CKJ21b1  
  公式三: ~F]p\]~Tl$  
e_ GM_E~^  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: o&/*o~Ta  
R23PS}zB=  
  sin(-α)= -sinα RcJ_qOS'z  
_2MQq/7q  
  cos(-α)= cosα /08p4~eMF  
/%5M@~jTXL  
  tan(-α)= -tanα }^*M'Pm  
NvI&f[W   
  cot(-α)= -cotα <GO~Bz7  
xSNB&   
  公式四: TY{HCOcm  
#wSz; 8  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: &YXd  
y=eM|L86  
  sin(π-α)= sinα 262G=}  
6o[%Ei%$Ma  
  cos(π-α)= -cosα 3H4_gmMJ  
OGP]:acB  
  tan(π-α)= -tanα #vX #\O n  
XE$ gL  
  cot(π-α)= -cotα l+ "7N.g/  
r6A8b89=  
  公式五: %26n TfS+  
Ob=}^VKc  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: bEq\ANY  
mP(_`)sUk  
  sin(2π-α)= -sinα 2-wRt&oE  
U|c, {(  
  cos(2π-α)= cosα @R]<JXmIcZ  
xxO|jg)ba  
  tan(2π-α)= -tanα K=Jw%{#b  
#6/a:faNe  
  cot(2π-α)= -cotα 'g]A+m8Y  
m=f!3D!  
  公式六: qLz0teJ[  
!aTDlEc  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: 7# 2+-"m(  
`K]oMtiPS  
  sin(π/2+α)= cosα (cdp.2C#  
QQg0  
  cos(π/2+α)= -sinα nh,?=TYI8  
%J}W ]gFU  
  tan(π/2+α)= -cotα 3C1Zm];=0  
Q1DF![sMa  
  cot(π/2+α)= -tanα T{'`: ank  
@|x^x.)(  
  sin(π/2-α)= cosα fpW h<Z  
yJ[u,rGz  
  cos(π/2-α)= sinα x b%6m8^  
F@aE*L8  
  tan(π/2-α)= cotα vCpX?]\w]  
`>,a \m'*  
  cot(π/2-α)= tanα Rg%;>  
WI;]fm6  
  sin(3π/2+α)= -cosα .0w N _o  
rF 2Q'2e  
  cos(3π/2+α)= sinα kc *EmqQX  
 o=*q2  
  tan(3π/2+α)= -cotα  iGWgd]Q  
J3Yw8~Sh  
  cot(3π/2+α)= -tanα Df\Fm  
G+7'>W  
  sin(3π/2-α)= -cosα 2Jd(0  
BIp'o0 ic  
  cos(3π/2-α)= -sinα pSSnw"{~  
<aE!=gc  
  tan(3π/2-α)= cotα p"%,6S.R  
6v3^xK4z0w  
  cot(3π/2-α)= tanα YU<- {D  
]P/-:s7  
  (以上k∈Z) 6?Q)>Pd  
E=~kw=  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ~~4m `  
g$s7v>#Q  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = j@ku3jaS  
ff5RC=:  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } M,Aat+k8  
\e@`;Po,  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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