三角函数内容规律 z0&?/&0I
(rGaj
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. Zzzb3K
/'Hh?J
1、三角函数本质: cgM2;*_F&
H3FO|dmy;p
三角函数的本质来源于定义 p;$
{<RoCx&^
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 4@4@co1r
(v v
b
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 x9g!S<;
I.N>%?X
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: =
=HMx
Im^M1
D
推导: M/gC^9
\&
~i(XU-x
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 jo~cp.F$
GD[6oZv
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) )b9J;u a
}gVAqnw
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) &?D99'}{_
V]X</,S
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 65wdK6NA
69^/Ie
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) e3C%3(
V._h?YW
[1] %h"J5|s/f
:B>h|P
两角和公式 =Ig{m|#
ZC|Yz5ylI[
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ].aH2jWw
@n,E/
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB 6,8I6H'5
e*V-$@/fK
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB S5 zxJ@%
9yxv( w0O
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB [}T.aQl:9-
RQ1`T?s`
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) x~VpSv&/
#-42)x90
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) w"'&j2pV1
SmF7ZMI%
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) = V
+}L{?@
T,:S Gl
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) Y|
?y
$
S9:L3Ko
倍角公式 Z|>lsnPw
Zp*j7m0-
Sin2A=2SinA•CosA 6!.w(9.
jCv5sgzl
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 d
tvgo8
s O' J<v
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) w_\dF9Es
u/%l
Q9
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) >D[0{9%
t=pnx)
O
三倍角公式
/j\kUv3
hO<6d
j9;Z.Qd_
qF9%!t
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) OLYP|VjF
KE]1n^Yu
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Dnj=OQ#
q&q}l6
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) .
N!c&
;"55]m1Y
三倍角公式推导 px_X
;.k
F=#f~!<y
sin3a ^^khy
a`fi>fMz
=sin(2a+a) R4I#}
0m?jhB6
=sin2acosa+cos2asina b1Nn-le;
0BP5\+u
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina gA`_2 Pu )
(em q^M
=3sina-4sin³a *b%pi2/F$
JMg4:Y0Ea
cos3a ]n4m85K2rm
@ >o w>V
=cos(2a+a) ~l{3$.
G
sZiB3
=cos2acosa-sin2asina gr53r
Cx`bc :G
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa %$9lh;
8ew6/_
=4cos³a-3cosa x"pGk$CR
tdo^I"2
sin3a=3sina-4sin³a +9/$+.
QT`
Vm$Etq,
=4sina(3/4-sin²a) h
jx8K_K
[z>.7bpyN^
=4sina[(√3/2)²-sin²a] J)V>3~GlxG
A(E_+zx
=4sina(sin²60°-sin²a) X;I7hKW
fm(iWG| v
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) K #_
&cDz-w 3
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] &
n $_|9
,A @jJSVu
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) bce>x>Y/
P_BFSeQ
cos3a=4cos³a-3cosa UWYyfJc
rXX,..<!Z
=4cosa(cos²a-3/4) D_7-# x}]f
#^wA&'V|
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] #+3
'|Bw
`
e,"tbJm)
=4cosa(cos²a-cos²30°)
$ &-igD
<6dD
'NO
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) :,,m/Rl*
L{j#wp O2
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} vP`HrJ"5>
UitT>J*y
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) BPY BMS:*
'HvmS,(WP
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] q<G_5,O}2
1_EkHzM3X
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] Ug.5WLa
:3V_OGsh
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) iYS? <
X`Lj/oOz
上述两式相比可得 S`q2+l"g$
yGGk"9
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) O[JsWQW?&
~Xv-Q\Q{
半角公式 n8I6zX
kf)]Lp,
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); pu/dGn W
3cko{Jq?
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ^gxU~)6{
2!*,tP2!
和差化积 eY}hTch,
V|FdlSV3
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Z=C
$ycH
\!BP=
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] -k
2Y(U
A."^uA^'
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 1](utw%!b
5j99/I#5|
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] x>;(PNn"
wy<~nh
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) n|oGq>~
g+q"|rT
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)
!7:Wo|
Le$n/m^~
积化和差 JB\?}P]m%B
rP&\|DD0
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] u>B>JG{~i
"_P+@^20H
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ,!j)Uq.
y"@4G;Y_S
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] Yl-|).tz)]
3%e)XtC
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Z9(|'5e+d
h@u-^j d
诱导公式 LxXmBq"
P\ ^=$K:
sin(-α) = -sinα 0fRg:hS
cacZ2As?
cos(-α) = cosα iZYK8%xzq
i!
:5S_#
sin(π/2-α) = cosα M]Nt7 C"hN
K"3#'9jY
cos(π/2-α) = sinα jB*8q;
j:#CEE$`7
sin(π/2+α) = cosα ?GN)pMET
]v(yr/&
cos(π/2+α) = -sinα 1%))FU-r
w$S/N5tjP
sin(π-α) = sinα FB-}>F
V~P [m j
cos(π-α) = -cosα W[RPo $7+
]
F
)hOi
sin(π+α) = -sinα #lod&mC#A
MC#xS`]6
cos(π+α) = -cosα ]bv
q x".<[a
tanA= sinA/cosA 44,IyS%z@
Hc0I!x[\
tan(π/2+α)=-cotα -jX-\:E
]p$iI+
tan(π/2-α)=cotα oW`obZ:0#
C:v6]=* k
tan(π-α)=-tanα BXB
+U||
0&Lcic +
tan(π+α)=tanα ytZ.x
F6
k9gI
万能公式 :
.4k|z'>R
_^52o${-
'{G+nHcK
O*3VH^M6\
其它公式 t}a;G%Qa
T0I@lU
(sinα)^2+(cosα)^2=1 X#x,/
$$
2SPO@mL
1+(tanα)^2=(secα)^2 nk61+O{z
N9a]a`
1+(cotα)^2=(cscα)^2 'So&+&;+
e_w%4_;,
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 /{=Xlq;G
qe*5|s3S
对于任意非直角三角形,总有 `/x{;->TE
xZ,pFa9F#
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC HJE+T\-i#
^
%6g(
证: D 'eY =
3T}sCdL
A+B=π-C R$zlL_X9p`
N"aV#ak&D
tan(A+B)=tan(π-C) x?Koo^3
Q3!)j%9
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) `Ic N,{B#
WO*S@pz,
整理可得 t)Ap=oZ
dm~4dlIbq
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Sz&
C6]OX
m/1m%a
得证 (KSqD-`)
)8Obe:Sv6M
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 nu6aR~k
Th#b8RQie
其他非重点三角函数 uzcetc02
&Wzv9CI
csc(a) = 1/sin(a) mt{cO\
I]9{u=~_
sec(a) = 1/cos(a) Z81&9,
&(n0{
J'wHKA9WI
jPcN2Z}
,
双曲函数 -ysF}5
"n+bYR[k
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 e
z=en564
!Yq2 $.;+
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 6P]`5=y
hNF"gG58
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) !@{Nk{EqR
3-n?u/\+4
公式一: IETQ_.wT2
v07K-qh
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: =AQ<=pz]
pao!7@e1e0
sin(2kπ+α)= sinα XWm*h8*6
RZ&S2Cxx
cos(2kπ+α)= cosα nvC$!%.la
jS/q;N@:O
tan(kπ+α)= tanα }kWsPJ
(
=G($Yw
cot(kπ+α)= cotα uaDS^
zuR"18o
公式二: q&JE>TiO
+z>q M
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: +]Xl Uk
KTi7
&3v
sin(π+α)= -sinα r[~ ]KiM
!g+^]Q
cos(π+α)= -cosα cKqX)D<Z
$/f3ZZ
tan(π+α)= tanα M]y\ O-
*T 2AbXOD
cot(π+α)= cotα M/aSCYnX
((CKJ21b1
公式三: ~F]p\]~Tl$
e_
GM_E~^
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: o&/*o~Ta
R23PS}zB=
sin(-α)= -sinα RcJ_qOS'z
_2MQq/7q
cos(-α)= cosα /08p4~eMF
/%5M@~jTXL
tan(-α)= -tanα }^*M'Pm
NvI&f[W
cot(-α)= -cotα <GO~Bz7
xSNB&
公式四: TY{HCOcm
#wSz;8
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: &YXd
y=eM|L86
sin(π-α)= sinα 262G= }
6o[%Ei%$Ma
cos(π-α)= -cosα 3H4_gmMJ
OGP]:acB
tan(π-α)= -tanα #vX #\O
n
XE$gL
cot(π-α)= -cotα l+ "7N.g/
r6A8b89=
公式五: %26n TfS+
Ob=}^VKc
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: bEq\ANY
mP(_`)sUk
sin(2π-α)= -sinα 2-wRt&oE
U|c,{(
cos(2π-α)= cosα @R]<JXmIcZ
xxO|jg)ba
tan(2π-α)= -tanα K=Jw%{#b
#6/a:faNe
cot(2π-α)= -cotα 'g]A+m8Y
m=f!3D!
公式六: qLz0teJ[
!aTDlEc
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: 7#2+-"m(
`K]oMtiPS
sin(π/2+α)= cosα (cdp.2C#
QQg0
cos(π/2+α)= -sinα nh,?=TYI8
%J}W ]gFU
tan(π/2+α)= -cotα 3C1Zm];=0
Q1DF![sMa
cot(π/2+α)= -tanα T{'`:ank
@|x^x.)(
sin(π/2-α)= cosα fpW h< |