日历

2025 - 1
日 一 二 三 四 五 六
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031 
«月» 2025 - 1 «年»

存　档

日志文章

上一篇/ 下一篇

2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 iT*[j4!Z  
K4 Klm  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. yPR>e  
va?>\{u]  
　　1、三角函数本质： |>:'y>AE  
V=N==Q8a<  
　　三角函数的本质来源于定义 N{:YamEz@  
R&EgBl  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 xg;G](-K8  
2[+>O|}W(  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 pigqbW  
+/"!Uwf  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： g2mHvUaR  
m&bXkW4t  
　　推导： ZGJww!Me  
$BO/(s  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 _/V;4\m  
/F`j~TY+  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 7DDl[jhB  
MG/H-!>Y  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) !E 6xHx^  
4U J Zd  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 }S>pfRT^  
"?bxI.w  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） / {oqKJ  
@eotUIy  
　　[1] qfDcs62 c6  
JY;~cr2>  
　　两角和公式 -zc/}'  
`e!4^`]6  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB )b$uSh-k  
$gJ~tR  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  2~V7oKU  
YPs~{e[iX  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB YK`GyBD&  
*-m5  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB P eZB#  
Z+I!J?#P  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) SCF5J 0  
xZt6SY X'  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) vVE\nL%"  
PmPNE`  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  hZac4e;;  
+U ]+3eH  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) p3ZH =u  
; cpgt3H(:  
倍角公式 3#SmU _  
t.e @' 6  
　　Sin2A=2SinA•CosA 2.cz Oh  
A`#xlq,f  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 |~Rnot:t4  
pz*a$2  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） g)%[?D#r  
9Z@Eq tJ  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） #`g2SN  
b sO- i/+  
三倍角公式 v(iz8 vY  
ts{g$+  
　　 w|oK  
v-0^V~0Bo  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) a2><*[[  
X$i&':&  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) bp(kr Cac  
In[`.2 Ze  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) U|uFr_3'(  
0GA}4YI<  
三倍角公式推导 kE[aXs,lV  
!Hd+RY/s  
　　sin3a hkB\g8  
OcfgNN3t4  
　　=sin(2a+a) ,] DE2 A  
vzw,PW  
　　=sin2acosa+cos2asina *HDEra*  
'^lr!\S  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina *SG2MPLs  
h$+ Dy.  
　　=3sina-4sin³a ^I^f.I[U_  
re]~BJ  
　　cos3a L`S*K e  
k{^_\61hf  
　　=cos(2a+a) MVN&WQx  
JvB\&2WuY  
　　=cos2acosa-sin2asina ;Zf S  
CsdDd]y>w  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 8U-C~!'|  
^k{,~wL7  
　　=4cos³a-3cosa HN+W;%!  
2dum58bX  
　　sin3a=3sina-4sin³a ?.xd`=r  
|f&pA^8  
　　=4sina(3/4-sin²a) %zdAP   
( 1ta8 w  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] XJl6MY  
WcHW4^Z&  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) _DuJKI~#  
Pg@Hiy-  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) i,IE|7D  
*r-8v'}  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] z1Sr`5}B  
?7Vm]QuK  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 5s8 Bp]tP  
`cm `Bb  
　　cos3a=4cos³a-3cosa  >5wE~k!  
&LHbiQz^  
　　=4cosa(cos²a-3/4) gCb0H}o  
S5}=xp3Y  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] fRcEMD8#,p  
yG6J-r}n  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) Q!5"Eza  
,a=): /  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) )G,#p^  
#qNkJ .  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} fJoBg$#\  
v% BtXt  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) .xeZL,L  
dTT&Y1x   
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] a8 ! k|%  
1pt0s?BB  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] k:u4 *Ph/J  
@rm9ZePt  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 'U>D,@@(  
bDr{l 1  
　　上述两式相比可得 a"B;1X  
oq:(<XH  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) qOgF,  
,FV V:(%  
半角公式 / 3sIDF|%  
HXL3,  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); Uo[ ad DY  
a#K6,#`^P  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. \Jy;l"u   
qw46YcI@`  
和差化积 oc q 2I  
~U&4}/ea  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] j@ab* wKN  
y$yA  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] <r /U>pW  
Q6.% \4<G  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] [A|#"  
 ]m^ @g  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] >0\vJ2!&"x  
kxkU+GWNA  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) e 9>A~x  
[acbG(7\  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) HXi@hX!a}  
;J O^_}pt  
积化和差 pMS<N]^U!  
M06Y/8!B  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 8*c>z%\  
2_?|~m  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] d9mu; U:  
!t;][Fzt  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] Q7'qJH  
;v}T8@  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] s7$ Wx #  
Mj( B4YWV  
诱导公式 t$^b  
YbzD( I  
　　sin(-α) = -sinα ^)^|.LX9  
eUcwz:YV5  
　　cos(-α) = cosα e."SI{#!=  
3`0uE?}  
　　sin(π/2-α) = cosα 'n 9!5  
^c{b$'4Q~  
　　cos(π/2-α) = sinα :\+ .D  
}Mc'y)@  
　　sin(π/2+α) = cosα _}$wmIj32  
;+84FFy  
　　cos(π/2+α) = -sinα xMu(uth  
p=kG"Kr  
　　sin(π-α) = sinα r~PNDD-  
RpIOt=h)%  
　　cos(π-α) = -cosα MT`!> s;TJ  
wt>F:/:  
　　sin(π+α) = -sinα Chn 8l8v  
5oh.xiW  
　　cos(π+α) = -cosα I9a rT'  
U0:L+qW  
　　tanA= sinA/cosA C4N 4/  
-Y?H<V6,5_  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα a0`@. &  
m Jb6 Li}f  
　　tan（π/2－α）＝cotα iY _eq~d  
$6 .E 5  
　　tan（π－α）＝－tanα (Dn<J@qtO  
G"A)`zj/,  
　　tan（π＋α）＝tanα H~un\xnI  
\s_&aqc8sN  
万能公式 HzmJ_5  
+R. @shB  
　　 nlJ*Hg?NV  
(Rf?bXI  
其它公式 (e (U}0-  
O"H^L?~"/  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 T37T@VaV1c  
7 S?W2aG]  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 $v~ yK  
uY~-8sU/0  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 (FBeeI2v{  
989k6_  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 /<.?VdDd  
^_ZlrrS  
　　对于任意非直角三角形,总有 [GS7:l\=h  
$( M>nO  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC @$*e-VC  
!u@sIHR}  
　　证: 6`hSqFK-[  
<9 1,~@  
　　A+B=π-C q tO/T-S  
4^rd{E?[  
　　tan(A+B)=tan(π-C) &w|jc `\  
uw$ pqyhQ  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 8&86&7  
:=]Nt.  
　　整理可得 [Su q HcD  
b>Af(iW7  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC If e<mn1g  
:2I(eZv  
　　得证 a&? 9/d$  
r\4EzI}z  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 [6~ !juM5  
3"DbjEQiE  
其他非重点三角函数 qzd"2%Q  
*R%zKs.)`N  
　　csc(a) = 1/sin(a) []arJG  
WO@v/ap  
　　sec(a) = 1/cos(a) YEB7f$DNc  
XH?lf! i&U  
　　 &jar2!&  
98 E./'d'  
双曲函数 S5F.#E *C  
Od JD>t'B  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 8YK3rny<  
E+tDocqA  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 YPE:FU%  
jH: tm  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) S{+`~fQ  
}Lek/f6z  
　　公式一： 2iEv ??N  
;T`,EcSm9}  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： {:y(an"<  
kzG1pL?Y  
　　sin（2kπ＋α）= sinα /WT]5$5O$  
j85>&+ss,s  
　　cos（2kπ＋α）= cosα .ZJ;?u\t  
J8 y&N  
　　tan（kπ＋α）= tanα BrO0 sg  
:'+nx#  
　　cot（kπ＋α）= cotα n"lmj )m  
`-}ZE7 {  
　　公式二： cV?YCfTx  
ZtH!. ~  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： ,a44@V B  
9pgE]VzY  
　　sin（π＋α）= -sinα oz^_y6se  
A5p"S57  
　　cos（π＋α）= -cosα Qf R`zF  
QnKFv /  
　　tan（π＋α）= tanα oB49/7v{  
U@kZg  
　　cot（π＋α）= cotα k d}v[c  
*}?v!FVIB  
　　公式三： >L2.Q8,^A  
>8|UX4  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： )GR9\|p  
2 3*v'1  
　　sin（-α）= -sinα ]i _AGfS6  
nEv3$xaH  
　　cos（-α）= cosα '\M~-l m  
mVZ(Vx:N  
　　tan（-α）= -tanα Xy@ /hm  
hF"Km8J] y  
　　cot（-α）= -cotα E#vEea  
>N.u+z4(  
　　公式四： senR%veP  
<eFtPep  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： >A / =I3  
^=w s E<<  
　　sin（π-α）= sinα &5e8RYZ  
y'dj rO  
　　cos（π-α）= -cosα ?uvnq_  
!ggVQh2  
　　tan（π-α）= -tanα k_~n}  
$7M>\1]&a  
　　cot（π-α）= -cotα `x)xUs  
q7(;X:*  
　　公式五： Sp^'Kj_N  
wOi O/q  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： j~={sAaB?  
}bJGC$  
　　sin（2π-α）= -sinα !Vk*NQ%[  
26a wH!*#  
　　cos（2π-α）= cosα OJ~"?@vUN  
&fHz36/w/  
　　tan（2π-α）= -tanα q MjWL i  
I=2q~B?YY  
　　cot（2π-α）= -cotα 6bK ^]  
B^Qtz!G[  
　　公式六： Q{3y @  
?Uhd8-  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： csj"~ <+g  
=1#(=Q9z  
　　sin（π/2+α）= cosα M!{%> cBV  
'#N>~\p  
　　cos（π/2+α）= -sinα AIkN`Z(Q  
x <t;9tB  
　　tan（π/2+α）= -cotα y hH`Z+  
Q}Wt2xl=mO  
　　cot（π/2+α）= -tanα pVY)X&XV  
S;1uYf)t)  
　　sin（π/2-α）= cosα u_o. ix  
'K+90*kv?"  
　　cos（π/2-α）= sinα LE #n:pfr  
9-W8V  
　　tan（π/2-α）= cotα !/<@iv9G  
8=>FBFZ3ys  
　　cot（π/2-α）= tanα h6CH r-sX!  
bA~E  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 1!*UzC<  
_6bd~R|S{  
　　cos（3π/2+α）= sinα oayK*6  
"=hI_c  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ]WxJz& \r  
$xc~F :E}  
　　cot（3π/2+α）= -tanα hBe!.{uh+  
@<+.)Ij)  
　　sin（3π/2-α）= -cosα ehAhwU4  
w\'xzu"1[  
　　cos（3π/2-α）= -sinα etA{TT):  
X*(e" M&  
　　tan（3π/2-α）= cotα 6Nt1=0t*V  
Ss)GLjS *  
　　cot（3π/2-α）= tanα rUWmL2K{  
f^qf_Yybe  
　　(以上k∈Z) () tfrY6D  
c:&+j4ht  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 @x/ Y |y  
,w'K0(>+  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = A(9*HW^#c  
{*o0@-/xC  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } \-rL$Q+;mc  
~::M/  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
类别： 收藏 |  评论(0) |  浏览(15275) |  收藏