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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 OF\?M74  
5Ln9Z;  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. h@]%Un  
20Z0:Cd  
　　1、三角函数本质： %\yy  
g0lUa4f  
　　三角函数的本质来源于定义 : <&e7P  
y}Y[<yb,  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 .#jx ghn)-  
0%y%+#"N{  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 n)%HRi<s  
yZWyo`b#  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： g ck98  
8.)xYW  
　　推导： =9}-C|c|B  
|'h~O+aV  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 3k QN  
?r**9j'v  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) zjEC6w  
P1 p-N  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) )[S`v]UIU  
42:RmA:  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 1s=cBPN  
Rt] b%2_  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ~{y?kf/LN  
[/n4b+zP*  
　　[1] g>!>THQ^h  
u=%'t[SUQA  
　　两角和公式 V 8!Q  
i 2V|\  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ??0 l )(  
WCK-%7  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  R}.x0i=e#  
6KMR DU   
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB `*vW[V  
E&z{g5vi  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB }Mt="Q ,  
oIH/]@=  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) \2lj+vO0M|  
9A #g  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) `+W%jNZb  
-3J )L  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  =9vV5{`y&  
4:MWYxoa  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 2Z\d  
/z_x;q.  
倍角公式 ?P~9 &P4h  
\X:@Mn z  
　　Sin2A=2SinA•CosA E kDXs5QhV  
SAx k^\_  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 _"<(zE2ftL  
B#EP/ga/g  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） vo6zA$L  
+Ry0dn}[  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） zPUWGp>:?  
@X&FL.A  
三倍角公式 ~964\yf!z  
UIy#v9^  
　　 !EH2-|-~  
`ki#4+  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) HL- Y 6F  
UowfgyN}  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Q[:+.#"  
gR"{_'Jk  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) W! bF3}C  
`Zm?S(~E:  
三倍角公式推导 x UA1o`X  
rob*Jg  
　　sin3a A;X\ [  
$ 7VrLIGk  
　　=sin(2a+a) s-Tf$W%zlm  
$47Hb_Y  
　　=sin2acosa+cos2asina }^F  
8N=N8e8H  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 3 L<&.Cm  
7 ;i_auy  
　　=3sina-4sin³a P?DqW;?TG  
&V,0u?L(  
　　cos3a f_4}}.tb@  
i)L#+Wr  
　　=cos(2a+a) Or )+n@{j  
p#d!u3D  
　　=cos2acosa-sin2asina bD3QC10V  
uU`=sDdE  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa Fgd@O:]  
;s@ WOU0<T  
　　=4cos³a-3cosa rvm "M  
6]b%YEhR  
　　sin3a=3sina-4sin³a w2b> o>=  
# lTE   
　　=4sina(3/4-sin²a) tVbbz' 3+  
V>i0XM>  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] o KQ!'3^:  
W\3c!qt|3  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 0zypo?R  
@!-0tf \  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) j7F&-k.i  
5ZvygUMl  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] Ka*K+ieJ  
!Su^F~_Y=  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) +L+0We0'ov  
M5XRaKk@  
　　cos3a=4cos³a-3cosa V0^QM!x  
A1 `;{"E_  
　　=4cosa(cos²a-3/4) {Zoc ,'  
C:wicZ  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] Tb WCUO9[  
|nCMr@Hg>  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) })dh$S IcV  
a{X{y+]  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) QI)IoUH  
8 ,&UjdE  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} Hb9`I_--  
F1CrbK U  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) WbrD5/(09  
y#Hk'x{  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] XP[Sw`$/  
WE*fDj"?  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ABV_p;`n  
F8B?giy  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) VY$TklI&r  
B+h|g,"0|  
　　上述两式相比可得 xTa.5cl  
4'?ci0w|  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) _jd77&#  
.ne1\ \Ba  
半角公式 cv&7rP-.  
g Vg8<PZJ<  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); !(Q]y]f:  
W~r+]3JD!  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. &cP87xHk,U  
C9`}~ *G  
和差化积 xvq% @3ub  
jytXM:+  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] .6y(Cn}V  
MizBs! v  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Wc2Uw,5G  
a_rPr/  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] },>m2*M  
Y|z|k  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] -Q0 v<1  
P:1|A4=  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) e+S }RPL  
o\~K:F  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 7?XXw'  
QR/w]8/  
积化和差 jV %8  
uxj\Ttx_4  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] cM^Y=vjk  
PI n2D>:J  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] %qR= GuG  
2p{gLCe4/  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] y(jEl*}.9  
}jP)wTb.d  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] fMP FbR  
49'rZhyc  
诱导公式 t l-u@y  
F9ZFuHG 1>  
　　sin(-α) = -sinα @U)$$ RUB  
U:ZmZe<o  
　　cos(-α) = cosα CE|hmR^_K  
r~Jf$Fm7O  
　　sin(π/2-α) = cosα xWXU5 Q!  
~U/Nk/3C%  
　　cos(π/2-α) = sinα RI>Ze3ZL  
QMDI$K&3#  
　　sin(π/2+α) = cosα o"<_v= <  
xyhYaF&(P  
　　cos(π/2+α) = -sinα 2x1%}}?  
V44m '8e  
　　sin(π-α) = sinα 7<73;p/V%  
}vI4Db  
　　cos(π-α) = -cosα }2I$CM)f  
:X,o aC5  
　　sin(π+α) = -sinα ?Yumo }+  
bgS+#@<g=  
　　cos(π+α) = -cosα ;:q qVm;*  
o8#S 1 G%  
　　tanA= sinA/cosA +!*_?Mp  
5k+= -/h  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα W;9g/b'  
Z>24K..&  
　　tan（π/2－α）＝cotα [u81rh~Y  
oQDs,;1:J.  
　　tan（π－α）＝－tanα N{'sZ:2vb  
.q~ZM !n  
　　tan（π＋α）＝tanα Y5fq|r/q  
/ZznjU  
万能公式 FBw2`|mi  
<*e1[KE t  
　　 .2iR!.e3  
[1adcv7i;  
其它公式 \G tJHa.  
!!8Sq  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ~mG] yiR  
MSx aG'@r  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 7>nD^@\  
)S: iG<\'h  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 b2#^!du  
%@(bX'b  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 Uv s=v  
We7J% 5i  
　　对于任意非直角三角形,总有 }EKfgR#J  
9e#)Df$  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC M@7/"A2Y@  
nN\"`=@  
　　证: !^`$f)n7Bn  
_@DhT%p7  
　　A+B=π-C otAkoAU  
) 7BCr$u  
　　tan(A+B)=tan(π-C) aZ^"NTxo  
TJzkeN) 2  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) wL&&"*HE[  
;J=.zwB/"  
　　整理可得 yA0FMOp_od  
]LnKs8  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ZZtqA:,(o  
J1od 3"Z  
　　得证 "[wtbZ"e  
/R7/K)M$  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 _,J$I+ 2  
rU=hQ3<  
其他非重点三角函数 Jn L GP  
*,wWJD~bU  
　　csc(a) = 1/sin(a) |a52%O79  
Mk! L '  
　　sec(a) = 1/cos(a) OEUnT]3$  
!tgc3ovU  
　　 . >1mK=^>|  
BF7*)C+  
双曲函数 ?"vadj  
f58XvTwWs  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 S6d}Zn  
~V)y.c)EB5  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 h"`[5j9R  
xpNyRI*Z/  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) G8t~R /  
tdmy0z^  
　　公式一： u[bv'KwH  
Nk'~jm  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： *kIq{=A?  
R?'d\D  
　　sin（2kπ＋α）= sinα n1EUI~H  
.uZD#   
　　cos（2kπ＋α）= cosα CK#$GXck  
B*3  
　　tan（kπ＋α）= tanα wH K9kc  
;|: Pzq!q  
　　cot（kπ＋α）= cotα kD\S_nm"  
OY~ +5;CE  
　　公式二： c{>@Q xWo  
q8'(8BAb]  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： p:~uax{*  
0f@|E{/&I  
　　sin（π＋α）= -sinα ivcG^gk  
%KoHVHG#  
　　cos（π＋α）= -cosα C`UkRO50  
w&a ]I{G  
　　tan（π＋α）= tanα 8dqFl%yc  
$ U`W/E  
　　cot（π＋α）= cotα 3(Wr3_OM  
w% ;+! x  
　　公式三： dUGeZf}$'  
cK Ox >y8A  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： gM~bT1'  
P-(j\"$h  
　　sin（-α）= -sinα |y;zFhB"  
WVr!q; !y  
　　cos（-α）= cosα T04R5- }  
]IsQ< A  
　　tan（-α）= -tanα msCvO?=L7  
7bR;Dt 1A  
　　cot（-α）= -cotα 8AY\CK  
r ^4^   
　　公式四： Us@(bT2*-;  
9 qR5g  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ]KEgv $  
`7 Nc%  
　　sin（π-α）= sinα W*yRo  
V2V* o,67  
　　cos（π-α）= -cosα `U*rTDhc  
= 7#@E8F*  
　　tan（π-α）= -tanα r`zcV8l\  
P.[>[H5&p  
　　cot（π-α）= -cotα n}~\Xl +C  
Vo3u0+B  
　　公式五： $m1G }  
>,$b~a,e  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 4jMq EBiz  
s_Row]Q  
　　sin（2π-α）= -sinα &LH~';Zm  
@SDi8TY]  
　　cos（2π-α）= cosα fS?2h&"  
%^TzR<`H [  
　　tan（2π-α）= -tanα S l x/1$?  
/2twXEIvQ  
　　cot（2π-α）= -cotα n}rc zU-  
$.@[9 K  
　　公式六： g+;U,'  
ri{,"PW$  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 95&NUWO-  
2(:/)]yS  
　　sin（π/2+α）= cosα 5+]75a .OI  
35+#0a,@3  
　　cos（π/2+α）= -sinα m%Wu5Apt<  
>6Vy\5Npl  
　　tan（π/2+α）= -cotα i-Izsss#In  
R(r:&P=  
　　cot（π/2+α）= -tanα \y 1\kdG  
m3 |/   
　　sin（π/2-α）= cosα @lR<D3  
G {kT6M  
　　cos（π/2-α）= sinα 6G g,Y  
dCqx;qX  
　　tan（π/2-α）= cotα D{Jx2"3(|  
Nm24s1>  
　　cot（π/2-α）= tanα e"hXb(}m  
& Seek  
　　sin（3π/2+α）= -cosα f4W#Mu5w  
}eAJ6m(  
　　cos（3π/2+α）= sinα j9K_ pE$F  
s[mQ/^_'  
　　tan（3π/2+α）= -cotα IHpzh.S  
TtvkC?F  
　　cot（3π/2+α）= -tanα vnk<};n%  
`lkQHo  
　　sin（3π/2-α）= -cosα ))JA%,  
= ns1o9{=  
　　cos（3π/2-α）= -sinα duni 0|GF  
noM|x%F6  
　　tan（3π/2-α）= cotα *"aj]W  
R?I> C_  
　　cot（3π/2-α）= tanα 4C"T88v"  
>hi(2pc~  
　　(以上k∈Z) "o6O`  
1o&:,cO}e  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 1q.b-|N I.  
~PGe96+9d  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 0Rfawvdoo  
=UbN|aQc  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } j84Y3*M/  
i=>c9C  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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